8. Вычислите определенный интеграл \( \int_{1}^{2} x dx \)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{a}^{b} f(x) dx \) нужно найти первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) \) и вычислить \( F(b) - F(a) \).

1. Найдем первообразную для функции \( f(x) = x \). По правилу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), первообразная \( F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \).
2. Вычислим разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования: \( \int_{1}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \).
3. \( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).

Ответ: \( \frac{3}{2} \).