9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² ; y = 0 ; x = 4

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями, можно найти как определенный интеграл от функции, верхней границы, по отрезку, заданному нижней границей и вертикальными линиями.

1. Верхняя граница фигуры — парабола \( y = x^2 \).
2. Нижняя граница фигуры — ось абсцисс \( y = 0 \).
3. Вертикальные линии — \( x = 0 \) (т.к. парабола проходит через начало координат и \( y=0 \)) и \( x = 4 \).
4. Таким образом, площадь \( S \) фигуры вычисляется как интеграл от \( x^2 \) по отрезку от \( 0 \) до \( 4 \): \( S = \int_{0}^{4} x^2 dx \).
5. Найдем первообразную для \( x^2 \): \( F(x) = \frac{x^3}{3} \).
6. Вычислим определенный интеграл: \( S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} - 0 = \frac{64}{3} \).

Ответ: \( \frac{64}{3} \).