6. Для каждой из функций f(x) = k/x, k < 0, и f(x) = x³ укажите: а) область определения функции; б) множество значений функции; в) нули функции; г) промежутки знакопостоянства функции; д) промежутки монотонности функции.

Решение:

Рассмотрим каждую функцию отдельно:

1. Функция f(x) = k/x, где k < 0
   1. Область определения: Все действительные числа, кроме нуля. \( D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \)
   2. Множество значений: Все действительные числа, кроме нуля. \( E(f) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \)
   3. Нули функции: Функция не имеет нулей, так как \( \frac{k}{x} = 0 \) не имеет решений при \(k
      eq 0\).
   4. Промежутки знакопостоянства:
      Так как k < 0, то:
      
      • Если x > 0, то f(x) < 0 (функция отрицательна).
      • Если x < 0, то f(x) > 0 (функция положительна).
      Таким образом, промежуток знакопостоянства: \( (-\infty, 0) \) — функция положительна, \( (0, \infty) \) — функция отрицательна.
   5. Промежутки монотонности:
      Функция является убывающей на всей своей области определения.
      Промежутки убывания: \( (-\infty, 0) \) и \( (0, \infty) \).
2. Функция f(x) = x³
   1. Область определения: Все действительные числа. \( D(f) = (-\infty, \infty) \)
   2. Множество значений: Все действительные числа. \( E(f) = (-\infty, \infty) \)
   3. Нули функции: \( x^3 = 0 ightarrow x = 0 \).
   4. Промежутки знакопостоянства:
      
      • Если x > 0, то f(x) > 0 (функция положительна).
      • Если x < 0, то f(x) < 0 (функция отрицательна).
      Таким образом, промежуток знакопостоянства: \( (-\infty, 0) \) — функция отрицательна, \( (0, \infty) \) — функция положительна.
   5. Промежутки монотонности:
      Функция является возрастающей на всей своей области определения.
      Промежуток возрастания: \( (-\infty, \infty) \).