6. Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть ABCD — четырёхугольник, а E, F, G, H — середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. В треугольнике ABC отрезок EF соединяет середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии треугольника EF ∥ AC и EF = AC/2.
2. В треугольнике ADC отрезок HG соединяет середины сторон DA и DC. Поэтому HG ∥ AC и HG = AC/2.
3. Значит, EF ∥ HG и EF = HG. Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то он является параллелограммом.

Следовательно, EFGH — параллелограмм.