8. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Пусть параллельные прямые пересекают первую прямую в точках A₀, A₁, …, Aₙ, а вторую — в точках B₀, B₁, …, Bₙ. По условию A₀A₁ = A₁A₂ = … = Aₙ₋₁Aₙ.

1. Параллельные прямые, проходящие через точки Aᵢ и Aᵢ₊₁, отсекают на двух пересекающих их прямых соответствующие отрезки AᵢAᵢ₊₁ и BᵢBᵢ₊₁.
2. Треугольники, образованные этими параллельными прямыми и двумя секущими, подобны: у них равны соответственные углы при параллельных прямых и общий угол между секущими.
3. По подобию отношение отрезков, отсекаемых на второй и первой прямых, постоянно: BᵢBᵢ₊₁ / AᵢAᵢ₊₁ = k, где k не зависит от номера соседней пары параллельных прямых.
4. Все отрезки AᵢAᵢ₊₁ равны, следовательно, равны и соответствующие им отрезки BᵢBᵢ₊₁.

Таким образом, параллельные прямые отсекают на второй прямой равные отрезки.