6. Докажите, что значение выражения 3/(1 − 4√7) + 3/(1 + 4√7) является рациональным числом.

Сложим дроби, используя формулу суммы дробей с сопряжёнными знаменателями:

\(\dfrac{3}{1-4\sqrt7}+\dfrac{3}{1+4\sqrt7}=\dfrac{3(1+4\sqrt7)+3(1-4\sqrt7)}{(1-4\sqrt7)(1+4\sqrt7)}\).

В числителе радикальные слагаемые взаимно уничтожаются, а знаменатель равен разности квадратов:

\(\dfrac{6}{1-(4\sqrt7)^2}=\dfrac{6}{1-112}=-\dfrac6{111}=-\dfrac2{37}\).

Полученное число является отношением целых чисел, следовательно, оно рационально.

Ответ: \(-\dfrac2{37}\), рациональное число.