6) \(\frac{x^2+x}{2} = \frac{8x-7}{3}\)

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе.

Шаг 1: Убираем знаменатели

Чтобы избавиться от дробей, нам нужно умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 6 (3 * 2 = 6).

\[ 6 \cdot \frac{x^2+x}{2} = 6 \cdot \frac{8x-7}{3} \]

\[ 3(x^2+x) = 2(8x-7) \]

Шаг 2: Раскрываем скобки

Теперь умножим числа перед скобками на каждое слагаемое внутри скобок:

\[ 3x^2 + 3x = 16x - 14 \]

Шаг 3: Переносим все в одну сторону

Чтобы решить квадратное уравнение, нужно, чтобы все члены были в одной части, а справа стоял ноль:

\[ 3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0 \]

\[ 3x^2 - 13x + 14 = 0 \]

Шаг 4: Находим дискриминант

Дискриминант (D) находится по формуле D = b² - 4ac. В нашем уравнении a = 3, b = -13, c = 14.

\[ D = (-13)^2 - 4(3)(14) \]

\[ D = 169 - 168 \]

\[ D = 1 \]

Шаг 5: Находим корни

Теперь найдем корни уравнения по формуле x = (-b ± √D) / 2a:

\[ x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]

Ответ: Корни уравнения: x₁ = 7/3, x₂ = 2.