6. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1ч навстречу ему их пункта Б, находящегося в 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2ч после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2км/ч.

6. Решение задачи:

Дано:

• Расстояние между пунктами А и Б: \( S_{АБ} = 30 \) км.
• Скорость течения реки: \( v_{тек} = 2 \) км/ч.
• Плот плывёт \( 1 \) час, затем навстречу ему выходит лодка.
• Лодка вышла через \( 1 \) час после плота.
• Встреча произошла через \( 2 \) часа после выхода лодки.

Найти:

• Собственная скорость лодки: \( v_{лодки} \) км/ч.

Решение:

1. Время движения плота до встречи: \( t_{плота} = 1 \) час (до выхода лодки) + \( 2 \) часа (пока лодка плыла до встречи) = \( 3 \) часа.
2. Скорость плота равна скорости течения реки: \( v_{плота} = v_{тек} = 2 \) км/ч.
3. Расстояние, которое проплыл плот до встречи: \( S_{плота} = v_{плота} \cdot t_{плота} = 2 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 6 \) км.
4. Когда лодка вышла навстречу плоту, расстояние между ними было: \( S_{между} = S_{АБ} - S_{плота} = 30 \text{ км} - 6 \text{ км} = 24 \) км.
5. Скорость лодки по течению (если бы она плыла вниз): \( v_{лодки\,вниз} = v_{лодки} + v_{тек} = v_{лодки} + 2 \) км/ч.
6. Скорость лодки против течения (если бы она плыла вверх): \( v_{лодки\,вверх} = v_{лодки} - v_{тек} = v_{лодки} - 2 \) км/ч.
7. Так как лодка вышла навстречу плоту (то есть, двигалась вверх по течению относительно плота, который двигался вниз), их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей: \( v_{сближения} = v_{лодки\,вверх} + v_{плота} = (v_{лодки} - 2) + 2 = v_{лодки} \) км/ч.
8. Время, через которое они встретились после выхода лодки, равно \( t_{встречи} = 2 \) часа.
9. Расстояние, пройденное лодкой и плотом навстречу друг другу за эти 2 часа, равно \( S_{между} = 24 \) км.
10. Используя формулу \( S = v \cdot t \), мы можем записать: \( S_{между} = v_{сближения} \cdot t_{встречи} \)
11. Подставим известные значения: \( 24 \text{ км} = v_{лодки} \cdot 2 \text{ ч} \)
12. Найдем скорость лодки: \( v_{лодки} = \frac{24 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч} \).
13. Проверим: Собственная скорость лодки = 12 км/ч. Скорость лодки против течения = 12 - 2 = 10 км/ч. За 2 часа лодка проплыла 10 * 2 = 20 км. Плот за 3 часа проплыл 2 * 3 = 6 км. Общее расстояние, которое они преодолели навстречу друг другу = 20 + 6 = 26 км. Это не совпадает с 30 км.
14. Переосмыслим задачу: Пункт Б находится в 30 км от А. Плот плывет из А. Лодка выходит из Б НАВСТРЕЧУ плоту.
15. Пусть \( v_л \) - собственная скорость лодки.
16. Скорость плота = \( v_{тек} = 2 \) км/ч.
17. Скорость лодки против течения = \( v_л - v_{тек} = v_л - 2 \) км/ч.
18. Лодка вышла через 1 час после плота. В этот момент плот проплыл \( 2 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 2 \) км.
19. Расстояние между плотом и лодкой в момент выхода лодки: \( 30 \text{ км} - 2 \text{ км} = 28 \) км.
20. Лодка и плот встретились через 2 часа после выхода лодки.
21. За эти 2 часа плот проплыл: \( v_{тек} \cdot 2 \text{ ч} = 2 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 4 \) км.
22. За эти 2 часа лодка проплыла: \( (v_л - v_{тек}) \cdot 2 \text{ ч} = (v_л - 2) \cdot 2 \) км.
23. Сумма расстояний, пройденных лодкой и плотом за эти 2 часа, равна расстоянию между ними в момент выхода лодки:
24. \( 4 \text{ км} + (v_л - 2) \cdot 2 \text{ ч} = 28 \text{ км} \)
25. \( 4 + 2v_л - 4 = 28 \)
26. \( 2v_л = 28 \)
27. \( v_л = \frac{28}{2} = 14 \) км/ч.

Ответ: Собственная скорость лодки составляет \( 14 \) км/ч.