6*. Из точки А к окружности с центром О проведе- ны касательные АМ и АК (М и К — точки касания). Найдите ∠MAK, если ∠OMK = 24°.

Решение:

Дано: \( AM \) и \( AK \) — касательные к окружности с центром \( O \); \( M \) и \( K \) — точки касания. \( ∠OMK = 24° \). Найти \( ∠MAK \).

1. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( OM ⊥ AM \) и \( OK ⊥ AK \). Это значит, что \( ∠AMO = 90° \) и \( ∠AKO = 90° \).

2. Треугольник \( \triangle OMK \) равнобедренный, так как \( OM = OK \) (радиусы окружности). Следовательно, \( ∠OMK = ∠OKM = 24° \).

3. Сумма углов в треугольнике \( \triangle OMK \) равна 180°:

\[ \angle MOK = 180° - (∠OMK + ∠OKM) = 180° - (24° + 24°) = 180° - 48° = 132° \]

4. Рассмотрим четырёхугольник \( AMOK \). Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°:

\[ ∠MAK + ∠AMO + ∠MOK + ∠AKO = 360° \]\[ ∠MAK + 90° + 132° + 90° = 360° \]\[ ∠MAK + 312° = 360° \]\[ ∠MAK = 360° - 312° = 48° \]

Ответ: 48°