6*. Марина гуляет по парку из точки S. На каждой развилке выбирает путь наугад, не возвращается. Схема: S → X → Y → Пруд \ \ → Z → T → Площадка \ W → Театр (из S в X или Z. Из X в Y. Из Z в T и W. Из Y в Т. Из Т в Площадку. Из W в Театр. Из Y ещё в Пруд.) а) Найдите вероятность того, что Марина придёт к Пруду. б) Какова вероятность, что она окажется либо на Площадке, либо в Театре?

Решение:

Распределим вероятности на каждом шаге, предполагая, что на каждой развилке выбор равновероятен.

Пути от S:

• S → X (вероятность \( \frac{1}{2} \))
• S → Z (вероятность \( \frac{1}{2} \))

Пути от X:

• X → Y (вероятность 1, так как другого пути нет)

Пути от Z:

• Z → T (вероятность \( \frac{1}{2} \))
• Z → W (вероятность \( \frac{1}{2} \))

Пути от Y:

• Y → Пруд (вероятность 1)
• Y → T (вероятность 0, указано, что из Y ещё в Пруд, а не в Т. Возможно, опечатка в условии, но следуем тексту.)

Пути от W:

• W → Театр (вероятность 1)

Пути от T:

• T → Площадка (вероятность 1)

а) Вероятность прийти к Пруду:

Путь к Пруду: S → X → Y → Пруд.

Вероятность этого пути = \( P(S \to X) \times P(X \to Y) \times P(Y \to \text{Пруд}) \).

Вероятность = \( \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} \).

б) Вероятность оказаться либо на Площадке, либо в Театре:

Путь на Площадку: S → Z → T → Площадка.

Вероятность этого пути = \( P(S \to Z) \times P(Z \to T) \times P(T \to \text{Площадка}) \).

Вероятность = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4} \).

Путь в Театр: S → Z → W → Театр.

Вероятность этого пути = \( P(S \to Z) \times P(Z \to W) \times P(W \to \text{Театр}) \).

Вероятность = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4} \).

Поскольку события «оказаться на Площадке» и «оказаться в Театре» несовместны, вероятность того, что Марина окажется либо на Площадке, либо в Театре, равна сумме их вероятностей.

Общая вероятность = \( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

Ответ: а) Вероятность прийти к Пруду равна \( \frac{1}{2} \). б) Вероятность оказаться либо на Площадке, либо в Театре равна \( \frac{1}{2} \).