6. Можно ли отметить 13 точек, соединить их тридцатью отрезками и провести прямую, которая пересечёт все эти отрезки и не пройдёт через отмеченные точки?

Можно. Проведём прямую и отметим 6 точек по одну её сторону, а 7 — по другую, так, чтобы ни одна точка не лежала на прямой.

Соединим 30 пар точек, выбирая каждую пару так, чтобы её точки находились по разные стороны прямой. Таких пар всего \(6\cdot7=42\), поэтому можно выбрать 30 различных пар. Каждый соединяющий их отрезок пересечёт прямую, а сама прямая не пройдёт ни через одну отмеченную точку.

Ответ: да, можно.