6*. На биссектрисе BD равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечена точка O, на отрезке AD — точка M и на отрезке CD — точка K, причем DM = DK. Найдите \( \angle MOD \), если \( \angle CKO = 110^{\circ} \).

Решение:

В равнобедренном \( \triangle ABC \) с основанием AC, биссектриса BD является также высотой и медианой. Следовательно, \( \angle BDA = 90^{\circ} \) и \( AD = DC \).

По условию, DM = DK. Рассмотрим \( \triangle DMK \).

Так как \( AD = DC \) и M лежит на AD, K лежит на CD, и DM = DK, то \( \triangle DMK \) является равнобедренным треугольником.

Угол \( \angle CKO = 110^{\circ} \). Угол \( \angle CKO \) и угол \( \angle CKM \) являются смежными, поэтому:

• \( \angle CKM = 180^{\circ} - \angle CKO = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \)

В \( \triangle DMK \), угол \( \angle CKD \) является вертикальным с углом \( \angle AMB \), а угол \( \angle CKM \) смежен с \( \angle AKM \).

В \( \triangle ODC \), \( \angle ODC = 90^{\circ} \) (так как BD — высота). Угол \( \angle KCD = \angle ACD \).

Рассмотрим \( \triangle KOC \).

В \( \triangle KOC \), \( \angle KCO \) — это угол \( \triangle ABC \).

Рассмотрим \( \triangle CDO \). \( \angle CDO = 90^{\circ} \).

В \( \triangle KMC \), \( \angle KMC = 180^{\circ} - \angle CKD \).

В \( \triangle DMK \), \( \angle DMK = \angle DKM \) (так как DM = DK).

Угол \( \angle AKC \) — развернутый, \( 180^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle DKO \). \( \angle DKO \) и \( \angle AKM \) — вертикальные. \( \angle AKD \) — прямая.

В \( \triangle DKO \), \( \angle ODK = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle MKC \). \( \angle KCM \) — это \( \angle C \) в \( \triangle ABC \).

В \( \triangle CKO \), \( \angle COK + \angle CKO + \angle KCO = 180^{\circ} \). \( \angle COK + 110^{\circ} + \angle KCO = 180^{\circ} \). \( \angle COK = 70^{\circ} - \angle KCO \).

Рассмотрим \( \triangle DMK \). DM = DK. \( \angle DKM = \angle DMK \).

Угол \( \angle CKO = 110^{\circ} \), следовательно \( \angle AKC = 180^{\circ} \).

\( \angle CKM = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

В \( \triangle DMK \), \( \angle MDK \) — это угол \( \angle ADC \).

В \( \triangle ABC \) (равнобедренном), \( BD \) — биссектриса, медиана, высота. \( \angle BDA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ODC \). \( \angle ODC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle KDC \).

В \( \triangle KMC \), \( \angle CKM = 70^{\circ} \) (как смежный с \( \angle CKO \)).

Из \( \triangle DMK \), DM = DK, значит \( \angle DMK = \angle DKM \).

Рассмотрим \( \triangle CDO \). \( \angle CDO = 90^{\circ} \).

В \( \triangle KMC \): \( \angle CKD + \angle KCM + \angle CMK = 180^{\circ} \).

Так как \( BD \) — биссектриса \( \angle ABC \) и \( \triangle ABC \) равнобедренный, то \( BD \) является осью симметрии. Следовательно, \( \angle ABK = \angle CBK \) и \( AB=BC \).

В \( \triangle ADC \), \( \angle ADC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle CDO \). \( \angle COD = 90^{\circ} \).

В \( \triangle DKO \), \( \angle DKO \) и \( \angle AKM \) — вертикальные. \( \angle AKD = 180^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle KMC \). \( \angle KCM = \angle C \) в \( \triangle ABC \). \( \angle CKM = 70^{\circ} \). \( \angle CMK = 180^{\circ} - \angle CKM - \angle KCM = 180^{\circ} - 70^{\circ} - \angle C = 110^{\circ} - \angle C \).

В \( \triangle ADM \), \( \angle ADM = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle DKO \). \( \angle ODK = 90^{\circ} \).

В \( \triangle CMK \), \( \angle CKM = 70^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle CDK \).

В \( \triangle DMK \), DM = DK. \( \angle MDK \) — это \( \angle ADC \).

В \( \triangle ABC \), \( BD \) — биссектриса, медиана, высота. \( \angle BDA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle CDO \). \( \angle CDO = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle KMC \). \( \angle CKM = 70^{\circ} \).

В \( \triangle KDC \).

Угол \( \angle CKO = 110^{\circ} \). Угол \( \angle AKD \) — прямая. \( \angle AKC = 180^{\circ} \).

\( \angle AKM + \angle MKC = 180^{\circ} \). \( \angle AKM \) и \( \angle DKC \) — вертикальные. \( \angle MKC \) и \( \angle AKD \) — вертикальные.

Рассмотрим \( \triangle CDO \). \( \angle CDO = 90^{\circ} \).

В \( \triangle CKO \), \( \angle KCO = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle COK \) (неверно).

В \( \triangle CKO \), \( \angle COK = 180^{\circ} - \angle CKO - \angle KCO = 180^{\circ} - 110^{\circ} - \angle KCO = 70^{\circ} - \angle KCO \).

В \( \triangle KMC \), \( \angle CKM = 70^{\circ} \).

Так как \( BD \) — биссектриса \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABC \) равнобедренный, то \( \triangle ABC \) симметричен относительно BD. Значит, \( \angle BAC = \angle BCA \). Пусть \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \).

В \( \triangle DCO \), \( \angle CDO = 90^{\circ} \).

В \( \triangle KDC \), \( \angle KDC = 90^{\circ} \).

В \( \triangle KMC \), \( \angle KCM = \alpha \), \( \angle CKM = 70^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle CDO \). \( \angle COD = 90^{\circ} \).

В \( \triangle MDO \), \( \angle MDO = 90^{\circ} \).

В \( \triangle KMC \), \( \angle KCM = \alpha \), \( \angle CKM = 70^{\circ} \).

В \( \triangle DMC \), \( \angle MDC = 90^{\circ} \). \( \angle MCD = \alpha \).

В \( \triangle KMC \), \( \angle KCM = \alpha \), \( \angle CKM = 70^{\circ} \), \( \angle CMK = 180^{\circ} - 70^{\circ} - \alpha = 110^{\circ} - \alpha \).

Так как DM = DK, \( \triangle DMK \) — равнобедренный. \( \angle DMK = \angle DKM \).

\( \angle MDK = 90^{\circ} \). \( \angle DMK = \angle DKM = (180^{\circ} - 90^{\circ})/2 = 45^{\circ} \).

Значит, \( \angle CMK = 45^{\circ} \).

Тогда \( 110^{\circ} - \alpha = 45^{\circ} \) \( \Rightarrow \alpha = 110^{\circ} - 45^{\circ} = 65^{\circ} \).

Так как \( \angle BCA = \alpha = 65^{\circ} \).

В \( \triangle CKO \), \( \angle KCO = 65^{\circ} \), \( \angle CKO = 110^{\circ} \).

\( \angle COK = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 65^{\circ} = 5^{\circ} \).

\( \angle MOD \) и \( \angle COK \) — вертикальные углы. Следовательно, \( \angle MOD = \angle COK \).

\( \angle MOD = 5^{\circ} \).

Ответ: 5°.