6*. На биссектрисе BD равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечена точка O, на отрезке AD точка K, причем DM = DK. Найдите ∠MOD, если ∠CKO = 110°.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \); \( BD \) — биссектриса; \( O \) — точка на \( BD \); \( K \) — точка на \( AD \); \( DM = DK \); \( \angle CKO = 110^{\circ} \).

Найти: \( \angle MOD \).

1. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \) и \( BD \) — биссектриса, то \( BD \) является также медианой и высотой. Следовательно, \( BD ⊥ AC \) и \( \angle BDA = 90^{\circ} \).

2. Так как \( DM = DK \), то \( \triangle DMK \) — равнобедренный.

3. Рассмотрим \( \triangle CDK \). \( \angle CKO = 110^{\circ} \) — внешний угол \( \triangle CDK \). Следовательно, \( \angle CDK + \angle DCK = 110^{\circ} \).

4. Так как \( BD \) — биссектриса, то \( \angle BCD = \angle BAD \). В равнобедренном \( \triangle ABC \), \( \angle BCD = \angle BAD \) (углы при основании).

5. В \( \triangle BDC \): \( \angle BDC = 90^{\circ} \). \( \angle DBC + \angle BCD = 90^{\circ} \).

6. Из \( \angle CDK + \angle DCK = 110^{\circ} \) и \( \angle BDC = 90^{\circ} \), \( \angle DCK = \angle BCD \), \( \angle CDK = \angle BDA + \angle ADK = 90^{\circ} + \angle ADK \) (это неверно, \( K \) лежит на \( AD \), поэтому \( \angle CDK \) не может быть \( 90^{\circ} + \angle ADK \)).

Примечание: Для решения задачи необходима более точная информация о положении точек O и K, или дополнительные условия. Рисунок не соответствует условию, так как точка O на биссектрисе BD, а K на AD, что делает ∠CKO=110° невозможным в рамках стандартных геометрических построений для равнобедренного треугольника.

Ответ: Требуется дополнительная информация или уточнение условия задачи.