6*. На биссектрисе BM равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечена точка D, на отрезке AM — точка F, на отрезке CM — точка E, причем EM = FM. Найдите ∠CFD, если ∠FDE = 80°.

Решение:

Дано: ΔABC — равнобедренный (AB=BC), BM — биссектриса. D ∈ BM, F ∈ AM, E ∈ CM. EM = FM. ∠FDE = 80°.

Найти: ∠CFD.

Решение:

1. В равнобедренном ΔABC биссектриса BM является также медианой и высотой. Следовательно, BM ⊥ AC, и M — середина AC. ∠BMA = ∠BMC = 90°.

2. Рассмотрим ΔAMC. Он является прямоугольным.

3. В ΔMFC EM = FM, значит ΔEMF — равнобедренный. ∠FEM = ∠EFM.

4. Рассмотрим ΔFDE. ∠FDE = 80°.

5. Угол ∠CFD является внешним углом ΔFDE. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов.

\[ \angle CFD = \angle FDE + \angle FED \]

6. Так как BM — биссектриса, то ∠ABM = ∠CBM. Так как ΔABC равнобедренный, то ∠BAC = ∠BCA.

7. В ΔFMC, ∠FMC = 90°.

8. Треугольники ΔAFB и ΔCEB подобны, но это нам не поможет.

9. Вернемся к ΔEMF. У нас есть ∠FDE = 80°. Требуется найти ∠CFD.

10. В ΔEMF, ∠FEM = ∠EFM. Пусть ∠FEM = ∠EFM = x. Тогда ∠EMF = 180° - 2x.

11. Поскольку ∠EMF является углом в ΔAMC, и ∠AMC = 90°, нам нужна дополнительная информация.

12. Рассмотрим треугольники ΔEMF и ΔCFD. У нас есть ∠FDE = 80°.

13. Переформулируем, используя данные о равнобедренности.

14. В ΔABC, AB=BC, BM — биссектриса, медиана, высота. M — середина AC. ∠AMB = ∠CMB = 90°.

15. EM = FM => ΔEMF — равнобедренный. ∠FEM = ∠EFM.

16. Угол ∠CFD — внешний угол ΔEFD. ∠CFD = ∠FED + ∠FDE.

17. Из рисунка видно, что E лежит на CM, F лежит на AM.

18. В ΔEMF, ∠FEM = ∠EFM. Пусть этот угол равен $$\alpha$$. Тогда ∠EMF = 180° - 2$$\alpha$$.

19. Поскольку ∠EMF = 90°, то 180° - 2$$\alpha$$ = 90°. 2$$\alpha$$ = 90°. $$\alpha$$ = 45°.

20. Значит, ∠FEM = 45° и ∠EFM = 45°.

21. Теперь вернемся к ∠CFD = ∠FED + ∠FDE.

22. ∠CFD = 45° + 80° = 125°.

Ответ: 125°.