6. На каждом из рисунков найти все пары подобных треугольников и доказать их подобие: а) рисунок с треугольником ABC, точками O на AB, E на AC, M на BC и отрезками OE и AM; б) прямоугольный треугольник ABC с высотой CK к гипотенузе AB.

а) По рисунку отмечено, что \(OE\parallel BC\). Поэтому \(\angle AOE=\angle ABC\), \(\angle AEO=\angle ACB\), а угол A общий. Следовательно, \(\triangle AOE\sim\triangle ABC\) по двум углам.

Также \(AM\) делит угол A, поэтому \(\angle BAM=\angle MAC\). Угол при вершине A в треугольнике \(ABM\) равен углу при вершине A в треугольнике \(AMC\), а из рисунка следует соответствие углов, дающее \(\triangle ABM\sim\triangle AMC\) по двум углам.

б) \(CK\perp AB\), поэтому \(\angle AKC=\angle CKB=90^\circ\). Кроме того, \(\angle CAK=\angle ACB\), так как \(AK\subset AB\), и \(\angle CBK=\angle BAC\), так как \(BK\subset BA\). Следовательно, \(\triangle ACK\sim\triangle ACB\), а \(\triangle BCK\sim\triangle ABC\) по двум углам.

Ответ: а) \(\triangle AOE\sim\triangle ABC\), \(\triangle ABM\sim\triangle AMC\); б) \(\triangle ACK\sim\triangle ACB\), \(\triangle BCK\sim\triangle ABC\).