6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла ABC.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим координаты точек A, B, C по сетке. Пусть точка C имеет координаты (0,0). Тогда: A = (2, 2), B = (1, 4), C = (0, 0).
2. Шаг 2: Найдем векторы BA и BC.
• Вектор BA = A - B = (2-1, 2-4) = (1, -2).
• Вектор BC = C - B = (0-1, 0-4) = (-1, -4).
3. Шаг 3: Найдем косинус угла между векторами BA и BC по формуле: \( \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} \).
4. Шаг 4: Вычислим скалярное произведение: \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (-2)(-4) = -1 + 8 = 7 \).
5. Шаг 5: Вычислим длины векторов:
• \( |\vec{BA}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \).
• \( |\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17} \).
6. Шаг 6: Вычислим косинус угла: \( \cos(\angle ABC) = \frac{7}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{85}} \).
7. Шаг 7: Найдем угол: \( \angle ABC = \arccos(\frac{7}{\sqrt{85}}) \). Приблизительное значение: \( \frac{7}{\sqrt{85}} \approx \frac{7}{9.2195} \approx 0.7592 \). \( \arccos(0.7592) \approx 40.6^{\circ} \).

Ответ: 41