6. На клетчатой бумаге с размером клетки \( 1 \times 1 \) нарисован треугольник \( ABC \). Найдите высоту, проведённую из вершины \( A \) к стороне \( BC \).

Решение:

Для нахождения высоты из вершины \( A \) к стороне \( BC \) нужно определить координаты точек \( A \) и \( BC \) и использовать формулу расстояния от точки до прямой. Из рисунка видно, что:

• Координаты вершины \( A \) равны \( (2, 1) \).
• Координаты вершины \( B \) равны \( (1, 4) \).
• Координаты вершины \( C \) равны \( (5, 3) \).

Уравнение прямой \( BC \) можно найти, зная две точки. Угловой коэффициент \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 4}{5 - 1} = \frac{-1}{4} \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \) → \( y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 1) \). Умножим на 4: \( 4(y - 4) = -(x - 1) \) → \( 4y - 16 = -x + 1 \) → \( x + 4y - 17 = 0 \).

Формула расстояния от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) : \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \).

В нашем случае \( (x_0, y_0) = (2, 1) \), \( A = 1 \), \( B = 4 \), \( C = -17 \).

Высота \( h = \frac{|1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - 17|}{\sqrt{1^2 + 4^2}} = \frac{|2 + 4 - 17|}{\sqrt{1 + 16}} = \frac{|-11|}{\sqrt{17}} = \frac{11}{\sqrt{17}} = \frac{11\sqrt{17}}{17} \).

Поскольку клетки имеют размер \( 1 \times 1 \), можно посчитать длину отрезков в клетках:

• Длина \( BC \) равна \( \sqrt{(5-1)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17} \) клеток.
• Площадь треугольника можно вычислить, рассмотрев его как разность площадей прямоугольника и трёх прямоугольных треугольников, или как половину площади прямоугольника, охватывающего треугольник. Если взять прямоугольник с вершинами \( (1,1) \) и \( (5,4) \), его площадь \( (5-1) \times (4-1) = 4 \times 3 = 12 \) квадратных клеток.
• Площадь \( ABC \) = Площадь прямоугольника - Площадь \( T_1 \) - Площадь \( T_2 \) - Площадь \( T_3 \).
• \( T_1 \) (треугольник над \( AB \)) : \( \frac{1}{2} \times (4-1) \times (2-1) = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = 1.5 \).
• \( T_2 \) (треугольник справа от \( AC \)) : \( \frac{1}{2} \times (5-2) \times (4-1) = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 \).
• \( T_3 \) (треугольник под \( BC \)) : \( \frac{1}{2} \times (5-1) \times (4-3) = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2 \).
• Площадь \( ABC = 12 - 1.5 - 4.5 - 2 = 4 \) квадратных клеток.

Площадь треугольника также равна \( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \). \( 4 = \frac{1}{2} \times \sqrt{17} \times h \). \( h = \frac{8}{\sqrt{17}} = \frac{8\sqrt{17}}{17} \).

Проверим координаты точек. \( A=(2,1), B=(1,4), C=(5,3) \).

Уравнение прямой \( BC \): \( \frac{y-4}{3-4} = \frac{x-1}{5-1} \) → \( \frac{y-4}{-1} = \frac{x-1}{4} \) → \( 4(y-4) = -(x-1) \) → \( 4y - 16 = -x + 1 \) → \( x + 4y - 17 = 0 \).

Высота \( h = \frac{|2 + 4(1) - 17|}{\sqrt{1^2 + 4^2}} = \frac{|2+4-17|}{\sqrt{1+16}} = \frac{|-11|}{\sqrt{17}} = \frac{11}{\sqrt{17}} = \frac{11\sqrt{17}}{17} \>.

Длина стороны \( BC \) равна \( \sqrt{(5-1)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17} \) клеток.

Площадь треугольника, используя метод вычитания из площади прямоугольника:

Прямоугольник с вершинами \( (1,1), (5,1), (5,4), (1,4) \) имеет площадь \( (5-1) \times (4-1) = 4 \times 3 = 12 \) клеток.

Площадь треугольника \( T_1 \) (слева от \( AB \)): \( \frac{1}{2} \times (2-1) \times (4-1) = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5 \) клеток.

Площадь треугольника \( T_2 \) (над \( AC \)): \( \frac{1}{2} \times (5-2) \times (4-1) = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 \) клеток.

Площадь треугольника \( T_3 \) (под \( BC \)): \( \frac{1}{2} \times (5-1) \times (3-1) = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \) клеток.

Ошибка в расчёте \( T_3 \). \( T_3 \) - это треугольник под \( BC \) с вершинами \( (1,1), (5,1), (5,3) \). Это неверно. Точки \( B \) и \( C \) имеют \( y \)-координаты 4 и 3. Точка \( A \) имеет \( y \)-координату 1.

Правильно: точка \( A \) - \( (2,1) \), \( B \) - \( (1,4) \), \( C \) - \( (5,3) \).

Охватывающий прямоугольник имеет вершины \( (1,1), (5,1), (5,4), (1,4) \). Площадь = \( (5-1) \times (4-1) = 4 \times 3 = 12 \).

Треугольник 1 (слева от \( AB \)): \( \frac{1}{2} \times (2-1) \times (4-1) = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5 \).

Треугольник 2 (справа от \( AC \)): \( \frac{1}{2} \times (5-2) \times (4-1) = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 \).

Треугольник 3 (под \( BC \)): \( \frac{1}{2} \times (5-1) \times (3-1) \) - это неверно. Вершины \( B \) и \( C \) имеют \( y \)-координаты 4 и 3.

Проще посчитать площадь через определитель:

\( S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))| \)

\( S = \frac{1}{2} |(2(4 - 3) + 1(3 - 1) + 5(1 - 4))| \)

\( S = \frac{1}{2} |(2(1) + 1(2) + 5(-3))| \)

\( S = \frac{1}{2} |(2 + 2 - 15)| \)

\( S = \frac{1}{2} |(-11)| = \frac{11}{2} = 5.5 \) клеток.

Теперь используем формулу \( S = \frac{1}{2} \times BC \times h \).

Длина \( BC = \sqrt{(5-1)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17} \) клеток.

\( 5.5 = \frac{1}{2} \times \sqrt{17} \times h \)

\( h = \frac{2 \times 5.5}{\sqrt{17}} = \frac{11}{\sqrt{17}} = \frac{11\sqrt{17}}{17} \).

Ответ: \(\frac{11\sqrt{17}}{17}\).