6. На координатной плоскости проведите прямую MN через точки М(-4;-2) и N(5;4) и отрезок KD, соединяющий точки К(-9;4) и D(-6;-8). Найдите координаты точки пересечения прямой MN и отрезка KD.

Решение:

1. Найдём уравнение прямой MN.
• Угловой коэффициент \(k_{MN}\) равен:
• \(k_{MN} = \frac{y_N - y_M}{x_N - x_M} = \frac{4 - (-2)}{5 - (-4)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)
• Уравнение прямой \(y = kx + b\):
• \(y = \frac{2}{3}x + b\)
• Подставим координаты точки M(-4;-2) для нахождения \(b\):
• \(-2 = \frac{2}{3}(-4) + b\)
• \(-2 = -\frac{8}{3} + b\)
• \(b = -2 + \frac{8}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{8}{3} = \frac{2}{3}\)
• Уравнение прямой MN: \(y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}\).
2. Найдём уравнение прямой, содержащей отрезок KD.
• Угловой коэффициент \(k_{KD}\) равен:
• \(k_{KD} = \frac{y_D - y_K}{x_D - x_K} = \frac{-8 - 4}{-6 - (-9)} = \frac{-12}{3} = -4\)
• Уравнение прямой \(y = kx + b\):
• \(y = -4x + b\)
• Подставим координаты точки K(-9;4) для нахождения \(b\):
• \(4 = -4(-9) + b\)
• \(4 = 36 + b\)
• \(b = 4 - 36 = -32\)
• Уравнение прямой KD: \(y = -4x - 32\).
3. Найдем точку пересечения прямых MN и KD.
• Приравняем уравнения прямых:
• \(\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} = -4x - 32\)
• Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дробей:
• \(2x + 2 = -12x - 96\)
• \(2x + 12x = -96 - 2\)
• \(14x = -98\)
• \(x = \frac{-98}{14} = -7\)
• Найдем \(y\), подставив \(x = -7\) в уравнение прямой KD (или MN):
• \(y = -4(-7) - 32 = 28 - 32 = -4\)
• Координаты точки пересечения \(P\) равны (-7; -4).
4. Проверим, принадлежит ли точка P отрезку KD.
• Координата \(x = -7\) находится между \(x_K = -9\) и \(x_D = -6\) (\(-9 ≤ -7 ≤ -6\)).
• Координата \(y = -4\) находится между \(y_D = -8\) и \(y_K = 4\) (\(-8 ≤ -4 ≤ 4\)).
• Следовательно, точка пересечения принадлежит отрезку KD.

Ответ: Координаты точки пересечения прямой MN и отрезка KD равны (-7; -4).