6. Найдите наименьшее натуральное число, большее 200, которое делится на 4, при делении на 5 дает остаток 2, а при делении на 7 — остаток 3.

Ищем число, которое при делении на 4, 5 и 7 даёт указанные остатки. Числа, удовлетворяющие всем трём условиям, повторяются через произведение делителей: \(4 \cdot 5 \cdot 7 = 140\).

1. Подходящее число меньше 200: \(52\), поскольку оно делится на 4, а остатки при делении на 5 и 7 равны 2 и 3.
2. Добавляем 140, чтобы получить число больше 200: \(52 + 140 = 192\), но оно меньше 200; следующее число: \(192 + 140 = 332\).
3. Проверка: \(332 = 4 \cdot 83\), \(332 = 5 \cdot 66 + 2\), \(332 = 7 \cdot 47 + 3\).

Ответ: 332.