6. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 5см, а радиус окружности основания - 3см.

Решение:

Объем шарового сектора вычисляется по формуле \( V = ¯¯¯ · S_{шар.сегм.} \) или \( V = ¯¯¯ · 2π R h \), где \( R \) — радиус шара, \( h \) — высота шарового сегмента.

В данной задаче радиус шара \( R = 5 \) см, радиус окружности основания шарового сегмента \( r = 3 \) см.

Найдем высоту шарового сегмента \( h \) из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом основания сегмента и высотой сегмента:

\[ R^2 = r^2 + (R-h)^2 \]

\[ 5^2 = 3^2 + (5-h)^2 \]

\[ 25 = 9 + (5-h)^2 \]

\[ 16 = (5-h)^2 \]

Так как \( h \) должно быть меньше \( R \), то \( 5-h = 4 \), следовательно \( h = 1 \) см.

Теперь найдем объем шарового сектора:

\[ V = ¯¯¯ · 2π R h = ¯¯¯ · 2π · 5 · 1 \]

\[ V = ¯¯¯ · 10π = ¯¯¯ \) см³.

Ответ: 20π/3 см³.