7. Радиус основания конуса равен 3√2 см, а образующие наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите боковую поверхность и объем конуса.

Решение:

Угол наклона образующей к плоскости основания равен 45°. Это означает, что в осевом сечении конуса, образованном двумя образующими и диаметром основания, треугольник является равнобедренным прямоугольным. Высота конуса \( h \) равна радиусу основания \( r \).

Из условия известно:

Радиус основания \( r = 3√2 \) см.

Угол наклона образующей \( α = 45^\circ \).

Поскольку \( α = 45^\circ \), то высота конуса \( h = r = 3√2 \) см.

Найдем длину образующей \( l \) по теореме Пифагора:

\[ l^2 = r^2 + h^2 \]

\[ l^2 = (3√2)^2 + (3√2)^2 \]

\[ l^2 = (9 · 2) + (9 · 2) \]

\[ l^2 = 18 + 18 = 36 \]

\[ l = 6 \) см.

Теперь вычислим боковую поверхность конуса по формуле \( S_{бок} = π r l \):

\[ S_{бок} = π · 3√2 · 6 = 18√2 π \) см².

Вычислим объем конуса по формуле \( V = ¯¯¯ · S_{осн} · h \):

\[ V = ¯¯¯ · π r^2 · h \]

\[ V = ¯¯¯ · π (3√2)^2 · 3√2 \]

\[ V = ¯¯¯ · π · 18 · 3√2 \]

\[ V = 18√2 π \) см³.

Ответ: Боковая поверхность 18√2π см², объем 18√2π см³.