6. Найдите область определения выражения: 1) logπ(10−5x); 2) log₃(x−4); 3) log₀,₃(x²−16); 4) log√10(6+x−x²); 5) lg((2x+5)/(x−1)).

Для логарифма необходимо, чтобы его аргумент был строго положительным; для дробного аргумента знаменатель также не должен обращаться в ноль.

1. Условие: \(10-5x>0\). Тогда \(x<2\). Область определения: (−∞; 2).
2. Условие: \(x-4>0\). Тогда область определения: (4; +∞).
3. Условие: \(x^2-16>0\). Разложим: \((x-4)(x+4)>0\), откуда \(x<-4\) или \(x>4\). Область определения: (−∞; −4) ∪ (4; +∞).
4. Условие: \(6+x-x^2>0\). Корни уравнения \(6+x-x^2=0\) — −2 и 3; парабола направлена ветвями вниз, поэтому выражение положительно между корнями. Область определения: (−2; 3).
5. Требуется \((2x+5)/(x-1)>0\). Критические точки: \(-5/2\) и 1. По знакам дробь положительна при \(x<-5/2\) или \(x>1\); точки \(-5/2\) и 1 исключаются. Область определения: (−∞; −5/2) ∪ (1; +∞).