6. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 45° и катетом, равным 10 см.

Дано:

\( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 45^{\circ} \), \( AC = 10 \) см.

Найти:

Площадь \( \triangle ABC \).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. \( \angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).
2. Так как \( \angle A = \angle B = 45^{\circ} \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
3. Следовательно, катеты равны: \( AC = BC = 10 \) см.
4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \).
5. \( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 50 \text{ см}^2 \).

Ответ: 50 см².