7. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 22°. Найдите острые углы данного треугольника.

Дано:

\( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ} \). \( CL \) — биссектриса, \( CH \) — высота, проведённые из вершины \( C \). \( \angle LCH = 22^{\circ} \).

Найти:

Острые углы \( \triangle ABC \) (\( \angle A \) и \( \angle B \)).

Решение:

1. Пусть \( \angle A = \alpha \). Тогда \( \angle B = 90^{\circ} - \alpha \).
2. Биссектриса \( CL \) делит \( \angle ACB \) пополам: \( \angle ACL = \angle BCL = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
3. В прямоугольном \( \triangle ACH \) \( \angle A = \alpha \), \( \angle AHC = 90^{\circ} \), значит \( \angle ACH = 90^{\circ} - \alpha \).
4. Угол между биссектрисой и высотой \( \angle LCH \) равен разности углов \( \angle ACH \) и \( \angle ACL \) (или \( \angle BCL \) и \( \angle BCH \)).
5. \( \angle LCH = | \angle ACH - \angle ACL | \)
6. \( 22^{\circ} = | (90^{\circ} - \alpha) - 45^{\circ} | \)
7. \( 22^{\circ} = | 45^{\circ} - \alpha | \)
8. Возможны два случая:
• Случай 1: \( 45^{\circ} - \alpha = 22^{\circ} \) \( \implies \alpha = 45^{\circ} - 22^{\circ} = 23^{\circ} \).
• Тогда \( \angle A = 23^{\circ} \), \( \angle B = 90^{\circ} - 23^{\circ} = 67^{\circ} \).
• Случай 2: \( 45^{\circ} - \alpha = -22^{\circ} \) \( \implies \alpha = 45^{\circ} + 22^{\circ} = 67^{\circ} \).
• Тогда \( \angle A = 67^{\circ} \), \( \angle B = 90^{\circ} - 67^{\circ} = 23^{\circ} \).
9. В обоих случаях острые углы треугольника равны 23° и 67°.

Ответ: \( 23^{\circ} \) и \( 67^{\circ} \).