8. В прямоугольной системе координат треугольник АВС задан координатами своих вершин. А (1; -2); В (4;-2); С (4; 4). Найдите градусные меры углов этого треугольника.

Дано:

\( \triangle ABC \) с вершинами \( A(1; -2) \), \( B(4; -2) \), \( C(4; 4) \).

Найти:

Углы \( \angle A, \angle B, \angle C \).

Решение:

1. Найдем длины сторон треугольника.
• \( AB = \sqrt{(4-1)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \)
• \( BC = \sqrt{(4-4)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = \sqrt{36} = 6 \)
• \( AC = \sqrt{(4-1)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
2. Заметим, что сторона \( AB \) параллельна оси X (так как \( y_A = y_B \)), а сторона \( BC \) параллельна оси Y (так как \( x_B = x_C \)).
3. Следовательно, \( \angle B = 90^{\circ} \). Треугольник прямоугольный.
4. Найдем острые углы, используя тригонометрические функции:
• \( \tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{3} = 2 \)
• \( \angle A = \arctan(2) \approx 63.4^{\circ} \)
• \( \tan C = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{6} = 0.5 \)
• \( \angle C = \arctan(0.5) \approx 26.6^{\circ} \)
5. Проверка: \( 63.4^{\circ} + 26.6^{\circ} = 90^{\circ} \).

Ответ: \( \angle A \approx 63.4^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C \approx 26.6^{\circ} \).