№6. Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC (AB = BC), если его периметр равен 56, длина стороны AC = 16, а величина угла ABC равна 30°.

По периметру и равенству \(AB=BC\) получаем \(AB=BC=(56-16):2=20\).

Проверим, согласуются ли эти стороны с углом \(B=30^\circ\). По теореме косинусов для основания должно выполняться:

\(AC^2=20^2+20^2-2\cdot20\cdot20\cos30^\circ=800-400\sqrt3\), поэтому \(AC\approx10.35\), а не 16.

Следовательно, такого треугольника с указанными данными не существует, и площадь по условию определить нельзя. Если угол указан ошибочно, а периметр и основание верны, высота к основанию равна \(\sqrt{20^2-8^2}=4\sqrt{21}\), и площадь была бы \(32\sqrt{21}\).