6. Найдите производную: \(\left(\frac{x^2-2x}{x+4x^3}\right)'\)

Область определения исходной функции: \(x\ne0\). Сократим дробь на \(x\):

\(\frac{x^2-2x}{x+4x^3}=\frac{x(x-2)}{x(1+4x^2)}=\frac{x-2}{1+4x^2}\).

По правилу производной частного:

\(\left(\frac{x-2}{1+4x^2}\right)'=\frac{1\cdot(1+4x^2)-(x-2)\cdot8x}{(1+4x^2)^2}\).

Упрощаем числитель: \(1+4x^2-8x(x-2)=1+16x-4x^2\).

Ответ: \(\frac{1+16x-4x^2}{(1+4x^2)^2}\), где \(x\ne0\).