6. Найдите значение выражения (5 + y)² + (3 - y) при y = -1/13.

Задание 6. Вычисление значения выражения

Дано:

• Выражение: \( (5 + y)^2 + (3 - y) \)
• Значение \( y \): \( y = -\frac{1}{13} \)

Найти: значение выражения.

Решение:

1. Подставим значение \( y = -\frac{1}{13} \) в выражение.
2. Сначала вычислим \( 5 + y \): \[ 5 + y = 5 + \left(-\frac{1}{13}\right) = 5 - \frac{1}{13} = \frac{5 \cdot 13}{13} - \frac{1}{13} = \frac{65 - 1}{13} = \frac{64}{13} \]
3. Теперь вычислим \( (5 + y)^2 \): \[ \left(\frac{64}{13}\right)^2 = \frac{64^2}{13^2} = \frac{4096}{169} \]
4. Далее вычислим \( 3 - y \): \[ 3 - y = 3 - \left(-\frac{1}{13}\right) = 3 + \frac{1}{13} = \frac{3 \cdot 13}{13} + \frac{1}{13} = \frac{39 + 1}{13} = \frac{40}{13} \]
5. Теперь сложим полученные значения: \[ \frac{4096}{169} + \frac{40}{13} \]
6. Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель — 169 (так как \( 13^2 = 169 \)).
7. Преобразуем вторую дробь: \[ \frac{40}{13} = \frac{40 \cdot 13}{13 \cdot 13} = \frac{520}{169} \]
8. Теперь сложим дроби: \[ \frac{4096}{169} + \frac{520}{169} = \frac{4096 + 520}{169} = \frac{4616}{169} \]
9. Выполним деление: \( 4616 \div 169 \).

\( 4616 \div 169 = 27.3136... \). Проверим, возможно, есть более простое решение или ошибка.

Перепроверим вычисления.

Второй способ решения:

1. Раскроем скобки в выражении: \( (5 + y)^2 + (3 - y) = (25 + 10y + y^2) + (3 - y) \)
2. Приведём подобные слагаемые: \( y^2 + (10y - y) + (25 + 3) = y^2 + 9y + 28 \)
3. Теперь подставим \( y = -\frac{1}{13} \) в упрощённое выражение: \[ \left(-\frac{1}{13}\right)^2 + 9\left(-\frac{1}{13}\right) + 28 \]
4. Вычислим: \[ \frac{1}{169} - \frac{9}{13} + 28 \]
5. Приведём к общему знаменателю 169: \[ \frac{1}{169} - \frac{9 \cdot 13}{13 \cdot 13} + \frac{28 \cdot 169}{169} \]
6. \( 9 \cdot 13 = 117 \)
7. \( 28 \cdot 169 = 4732 \)
8. Получаем: \[ \frac{1}{169} - \frac{117}{169} + \frac{4732}{169} = \frac{1 - 117 + 4732}{169} = \frac{-116 + 4732}{169} = \frac{4616}{169} \]
9. \( 4616 \div 169 \).

\( 169 \times 20 = 3380 \). \( 4616 - 3380 = 1236 \). \( 169 \times 7 = 1183 \). \( 1236 - 1183 = 53 \). Получается \( 27 \) целых и \( 53 \) в остатке. \( \frac{53}{169} \).

Возможно, в условии есть ошибка, или я неправильно интерпретирую. Проверим еще раз.

Третий способ решения:

1. Запишем выражение: \( (5 + y)^2 + (3 - y) \)
2. Подставим \( y = -\frac{1}{13} \)
3. \( \left(5 - \frac{1}{13}\right)^2 + \left(3 - \left(-\frac{1}{13}\right)\right) \)
4. \( \left(\frac{65-1}{13}\right)^2 + \left(3 + \frac{1}{13}\right) \)
5. \( \left(\frac{64}{13}\right)^2 + \left(\frac{39+1}{13}\right) \)
6. \( \frac{4096}{169} + \frac{40}{13} \)
7. \( \frac{4096}{169} + \frac{40 \times 13}{13 \times 13} \)
8. \( \frac{4096}{169} + \frac{520}{169} \)
9. \( \frac{4096 + 520}{169} = \frac{4616}{169} \)

Проверим деление: \( 169 * 27 = 4563 \). \( 4616 - 4563 = 53 \). Значит, \( 27 \frac{53}{169} \).

Перечитаем условие: "Найдите значение выражения (5+ y)² + (3-у) при у=— 1/13".

Возможно, в ответе ожидается десятичная дробь. \( 53 / 169 ≈ 0.3136 \). Получается \( 27.3136 \).

Давайте проверим, есть ли возможность упрощения.

\( (5 + y)^2 + (3 - y) \)

Если \( y = -1/13 \):

\( 5 + y = 5 - 1/13 = 65/13 - 1/13 = 64/13 \)

\( 3 - y = 3 - (-1/13) = 3 + 1/13 = 39/13 + 1/13 = 40/13 \)

\( (64/13)^2 + 40/13 = 4096/169 + 40/13 = 4096/169 + 520/169 = 4616/169 \)

\( 4616 \div 169 = 27 \) с остатком \( 53 \).

\( 27 \frac{53}{169} \).

Ответ: 27 53/169.