6. Найдите значение выражения \(\frac{1}{4+\sqrt{14}} + \frac{1}{4-\sqrt{14}}\)

Решение:

1. Приведём дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов: \( (4+\sqrt{14})(4-\sqrt{14}) = 4^2 - (\sqrt{14})^2 = 16 - 14 = 2 \).
2. Преобразуем числители: \( \frac{1 \cdot (4-\sqrt{14})}{(4+\sqrt{14})(4-\sqrt{14})} + \frac{1 \cdot (4+\sqrt{14})}{(4-\sqrt{14})(4+\sqrt{14})} = \frac{4-\sqrt{14}}{2} + \frac{4+\sqrt{14}}{2} \).
3. Сложим дроби с одинаковым знаменателем: \( \frac{4-\sqrt{14} + 4+\sqrt{14}}{2} \).
4. Упростим числитель: \( \frac{8}{2} \).
5. Вычислим: \( \frac{8}{2} = 4 \).

Ответ: 4