6. Найти: KN : NC. На рисунке BK = KA, AM = 4, MC = 6; точка N — пересечение BM и KC.

Так как \(BK=KA\), точка K — середина стороны AB. Поэтому \(AK:KB=1:1\).

На стороне AC задано \(AM:MC=4:6=2:3\).

Рассмотрим треугольник ABC и применим теорему о пересечении медианы и cevian. Введём координаты: пусть \(A=(0,0)\), \(C=(10,0)\), а \(B\) имеет произвольные координаты. Тогда \(K=\frac12B\), а \(M=\frac25C\).

Пусть \(N\) делит отрезок KC в отношении \(KN:NC=t:(1-t)\). Из условия принадлежности точки N прямой BM получается \(t=\frac14\).

Следовательно, \(KN=\frac14KC\), а \(NC=\frac34KC\). Поэтому:

\(KN:NC=\frac14:\frac34=1:3\).

Ответ: \(KN:NC=1:3\).