6) Найти корень уравнения \(\sqrt{4x^2 - 27} = -x\) (1 балл).

Решение:

1. Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала наложим ограничения: \( -x \ge 0 \) (так как корень не может быть отрицательным) и \( 4x^2 - 27 \ge 0 \) (выражение под корнем должно быть неотрицательным). Из \( -x \ge 0 \) следует \( x \le 0 \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{4x^2 - 27})^2 = (-x)^2 \), что даёт \( 4x^2 - 27 = x^2 \).
3. Перенесём все члены в одну сторону: \( 4x^2 - x^2 - 27 = 0 \), получаем \( 3x^2 - 27 = 0 \).
4. Решим полученное квадратное уравнение: \( 3x^2 = 27 \), \( x^2 = 9 \), \( x = \pm3 \).
5. Проверим полученные корни с учётом ограничения \( x \le 0 \).
6. Корень \( x = 3 \) не удовлетворяет условию \( x \le 0 \).
7. Корень \( x = -3 \) удовлетворяет условию \( x \le 0 \).
8. Проверим подстановкой: \( \sqrt{4(-3)^2 - 27} = \sqrt{4(9) - 27} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3 \). Левая часть равна \( 3 \), правая часть равна \( -(-3) = 3 \). Равенство верно.

Ответ: -3.