6. Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 6,5 см. Найти площадь и периметр треугольника, если один из катетов 5 см.

Решение:

Для прямоугольного треугольника, описанная окружность имеет радиус, равный половине гипотенузы.

Дано: \( R = 6.5 \) см, \( a = 5 \) см (один из катетов).

Гипотенуза \( c = 2R = 2 × 6.5 = 13 \) см.

Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \).

\( 13^2 = 5^2 + b^2 \).

\( 169 = 25 + b^2 \).

\( b^2 = 169 - 25 = 144 \).

\( b = √{144} = 12 \) см.

Площадь прямоугольного треугольника \( S = \frac{1}{2} × a × b \).

\( S = \frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{60}{2} = 30 \) см².

Периметр прямоугольного треугольника \( P = a + b + c \).

\( P = 5 + 12 + 13 = 30 \) см.

Ответ: Площадь 30 см², периметр 30 см.