7. Два угла треугольника равны 46° и 74°. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины данного треугольника делят описанную окружность.

Решение:

Пусть \( α \) и \( β \) — два угла треугольника. Третий угол \( γ = 180^{\circ} - (α + β) \).

Дано: \( α = 46^{\circ} \), \( β = 74^{\circ} \).

\( γ = 180^{\circ} - (46^{\circ} + 74^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Пусть вершины треугольника на окружности — \( A, B, C \), и соответствующие углы — \( α, β, γ \).

Угол \( α = 46^{\circ} \) опирается на дугу \( BC \). Градусная мера дуги \( BC = 2 × α = 2 × 46^{\circ} = 92^{\circ} \).

Угол \( β = 74^{\circ} \) опирается на дугу \( AC \). Градусная мера дуги \( AC = 2 × β = 2 × 74^{\circ} = 148^{\circ} \).

Угол \( γ = 60^{\circ} \) опирается на дугу \( AB \). Градусная мера дуги \( AB = 2 × γ = 2 × 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Проверка: Сумма дуг равна \( 92^{\circ} + 148^{\circ} + 120^{\circ} = 360^{\circ} \), что соответствует полной окружности.

Ответ: Дуги имеют градусные меры 92°, 148°, 120°.