6. Площадь правильного треугольника равна 36√3. Найдите радиус окружности, которую можно вписать в этот треугольник.

Пусть сторона треугольника равна \(a\). Площадь правильного треугольника: \(S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

Подставим площадь и найдём сторону: \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}\), откуда \(a^2=144\) и \(a=12\).

Радиус вписанной окружности правильного треугольника равен \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\). Поэтому \(r=\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}\).

Ответ: \(2\sqrt{3}\).