6. Площадь прямоугольного треугольника равна 578√3/3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \(\angle C = 90°\). Площадь \( S = \frac{578\sqrt{3}}{3} \).

Один из острых углов равен 30°. Пусть \(\angle A = 30°\), тогда \(\angle B = 90° - 30° = 60°\).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \), где \(a\) и \(b\) — катеты.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

\( a = b \tan(30°) = \frac{b}{\sqrt{3}} \)

Подставим это в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2} \left( \frac{b}{\sqrt{3}} \right) b = \frac{b^2}{2\sqrt{3}} \)

Теперь приравняем данную площадь к этой формуле:

\( \frac{b^2}{2\sqrt{3}} = \frac{578\sqrt{3}}{3} \)

Решим для \(b\) (катет, прилежащий к углу 30°):

\( b^2 = \frac{578\sqrt{3}}{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1156 \cdot 3}{3} = 1156 \)

\( b = \sqrt{1156} = 34 \)

Найдем катет \(a\), прилежащий к углу 30°:

\( a = b \tan(30°) = 34 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{34}{\sqrt{3}} = \frac{34\sqrt{3}}{3} \)

Мы нашли катет \(a\), прилежащий к углу 30°. Давайте проверим, какой из катетов мы нашли.

Угол \(\angle A = 30°\), катет, прилежащий к нему, — это \(AC = b\). Угол \(\angle B = 60°\), катет, прилежащий к нему, — это \(BC = a\).

Катет, прилежащий к углу 30°, это \(b = 34\).

Ответ: 34.