6. Представьте выражение $ (x^{-1}-y)(x-y^{-1})^{-1} $ в виде рациональной дроби.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Представьте выражение $ (x^{-1}-y)(x-y^{-1})^{-1} $ в виде рациональной дроби.$ Фото задания

Accepted Answer

Сначала представим степени с отрицательным показателем как дроби:

$ x^{-1} = \frac{1}{x} $

$ y^{-1} = \frac{1}{y} $

Подставим это в выражение:

$ \left(\frac{1}{x}-y\right)\left(x-\frac{1}{y}\right)^{-1} $

Приведём к общему знаменателю в первой скобке:

$ \frac{1-xy}{x} \cdot \left(x-\frac{1}{y}\right)^{-1} $

Приведём к общему знаменателю во второй скобке и возведём в степень $ -1 $ (это значит перевернуть дробь):

$ x - \frac{1}{y} = \frac{xy-1}{y} $

$ \left(\frac{xy-1}{y}\right)^{-1} = \frac{y}{xy-1} $

Теперь перемножим полученные дроби:

$ \frac{1-xy}{x} \cdot \frac{y}{xy-1} $

Заметим, что $ 1-xy = -(xy-1) $. Подставим это:

$ \frac{-(xy-1)}{x} \cdot \frac{y}{xy-1} $

Сократим $ xy-1 $ (при условии $ xy \neq 1 $):

$ \frac{-1}{x} \cdot y = \frac{-y}{x} $

Ответ: $\frac{-y}{x}$.

6. Представьте выражение \( (x^{-1}-y)(x-y^{-1})^{-1} \) в виде рациональной дроби.