6. При каких значениях а множеством решений неравенства \( 3x - 7 < \frac{a}{3} \) является числовой промежуток (–∞; 4)?

Решение:

Решим данное неравенство относительно \(x\):

\( 3x < 7 + \frac{a}{3} \)

\( x < \frac{7}{3} + \frac{a}{9} \)

Нам дано, что решение неравенства — это промежуток \( (-\infty; 4) \). Это означает, что \( x < 4 \).

Следовательно, верхняя граница решения \( \frac{7}{3} + \frac{a}{9} \) должна быть равна 4.

\( \frac{7}{3} + \frac{a}{9} = 4 \)

Умножим обе части на 9:

\( 9 \cdot \frac{7}{3} + 9 \cdot \frac{a}{9} = 9 \cdot 4 \)

\( 3 \cdot 7 + a = 36 \)

\( 21 + a = 36 \)

\( a = 36 - 21 \)

\( a = 15 \)

Проверим, если \( a = 15 \), то неравенство будет \( x < \frac{7}{3} + \frac{15}{9} = \frac{7}{3} + \frac{5}{3} = \frac{12}{3} = 4 \), что соответствует условию.

Ответ: 15.