6. При каких значениях а уравнение х² - (а-6)х + 4 = 0 не имеет корней?

Решение:

Квадратное уравнение Ax² + Bx + C = 0 не имеет действительных корней, если его дискриминант D меньше нуля (D < 0).

В данном уравнении:

• A = 1
• B = -(a-6) = 6-a
• C = 4

Дискриминант вычисляется по формуле: D = B² - 4AC.

Подставим значения:

\[ D = (6-a)² - 4(1)(4) \]

\[ D = (6-a)² - 16 \]

Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы D < 0:

\[ (6-a)² - 16 < 0 \]

\[ (6-a)² < 16 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей, помня, что корень из квадрата — это модуль:

\[ |6-a| < 4 \]

Это неравенство можно раскрыть как:

\[ -4 < 6-a < 4 \]

Разобьём на два неравенства:

1) \( 6-a < 4 \)

\[ -a < 4 - 6 \]

\[ -a < -2 \]

\[ a > 2 \]

2) \( 6-a > -4 \)

\[ -a > -4 - 6 \]

\[ -a > -10 \]

\[ a < 10 \]

Объединяя оба условия, получаем:

\[ 2 < a < 10 \]

Ответ: При a, принадлежащем интервалу (2; 10).