7. На четырёх карточках записаны числа 3, 4, 5 и 6. Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет кратным числу 3?

Решение:

Всего у нас 4 карточки с числами: 3, 4, 5, 6.

Нам нужно выбрать 2 карточки из 4. Количество таких комбинаций (сочетаний) равно:

\[ C₄² = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]

Всего возможно 6 пар карточек. Перечислим их:

1. (3, 4)
2. (3, 5)
3. (3, 6)
4. (4, 5)
5. (4, 6)
6. (5, 6)

Теперь найдём произведение чисел для каждой пары:

1. 3 × 4 = 12
2. 3 × 5 = 15
3. 3 × 6 = 18
4. 4 × 5 = 20
5. 4 × 6 = 24
6. 5 × 6 = 30

Нам нужно найти, сколько из этих произведений кратны числу 3. Число кратно 3, если оно делится на 3 без остатка. Проверим:

1. 12 ÷ 3 = 4 (кратно)
2. 15 ÷ 3 = 5 (кратно)
3. 18 ÷ 3 = 6 (кратно)
4. 20 ÷ 3 = 6 с остатком 2 (не кратно)
5. 24 ÷ 3 = 8 (кратно)
6. 30 ÷ 3 = 10 (кратно)

Произведения, кратные 3: 12, 15, 18, 24, 30. Всего таких произведений 5.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

\[ P(\text{произведение кратно 3}) = \frac{\text{Число пар с произведением, кратным 3}}{\text{Общее число пар}} = \frac{5}{6} \]

Ответ: 5/6