6. При каких значениях а уравнение x^2 + ax + 4 = 0 имеет:

Решение:

Для решения используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \). В данном уравнении \( a=1 \), \( b=a \), \( c=4 \). \( D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16 \).

а) один корень;

Уравнение имеет один корень, если \( D = 0 \).

\( a^2 - 16 = 0 \)

\( a^2 = 16 \)

\( a = \pm 4 \).

Ответ: при \( a = 4 \) или \( a = -4 \).

б) только отрицательные корни.

Для того чтобы уравнение имело два отрицательных корня, должны выполняться следующие условия:

1. Дискриминант должен быть положительным: \( D > 0 \) \( \implies a^2 - 16 > 0 \) \( \implies a^2 > 16 \) \( \implies a < -4 \) или \( a > 4 \).
2. Сумма корней \( x_1 + x_2 = -b/a \) должна быть отрицательной: \( -a/1 < 0 \) \( \implies -a < 0 \) \( \implies a > 0 \).
3. Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = c/a \) должно быть положительным: \( 4/1 > 0 \) \( \implies 4 > 0 \) (это условие всегда выполнено).

Объединяя условия \( (a < -4 \) или \( a > 4 \) \) и \( a > 0 \), получаем, что \( a > 4 \).

Ответ: при \( a > 4 \).