6. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и C в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, CF:DF=4:3

Пошаговое решение:

1. Дано: трапеция ABCD, \( AD \parallel BC \). Прямая EF \( ‖ AD \). \( E \) на \( AB \), \( F \) на \( CD \).
2. Основания: \( AD = 42 \), \( BC = 14 \).
3. Соотношение на боковой стороне CD: \( CF:DF = 4:3 \).
4. Найдем общую длину боковой стороны CD. Пусть \( CF = 4x \) и \( DF = 3x \). Тогда \( CD = CF + DF = 4x + 3x = 7x \).
5. Поскольку EF \( ‖ AD \) и EF \( ‖ BC \), точка F делит сторону CD в соотношении, которое определяет положение EF относительно оснований.
6. Найдем, какую часть от всей боковой стороны CD составляет отрезок CF. \( \frac{CF}{CD} = \frac{4x}{7x} = \frac{4}{7} \).
7. Это означает, что отрезок EF находится на расстоянии \( \frac{4}{7} \) от основания BC (меньшего) или \( \frac{3}{7} \) от основания AD (большего), считая от точки C.
8. Длина отрезка EF, параллельного основаниям трапеции, рассчитывается по формуле: \( EF = BC + \frac{CF}{CD} \cdot (AD - BC) \) (если считать от меньшего основания BC)
9. \( EF = 14 + \frac{4}{7} \cdot (42 - 14) \)
10. \( EF = 14 + \frac{4}{7} \cdot 28 \)
11. \( EF = 14 + 4 \cdot 4 \)
12. \( EF = 14 + 16 \)
13. \( EF = 30 \).
14. Альтернативный способ: \( EF = AD - \frac{DF}{CD} \cdot (AD - BC) \) (если считать от большего основания AD)
15. \( EF = 42 - \frac{3}{7} \cdot (42 - 14) \)
16. \( EF = 42 - \frac{3}{7} \cdot 28 \)
17. \( EF = 42 - 3 \cdot 4 \)
18. \( EF = 42 - 12 \)
19. \( EF = 30 \).

Ответ: 30