6. Прямая, пересекающая диагональ BD параллелограмма ABCD в точке Е, пересекает его стороны АВ и CD в точках М и К соответственно, причём МЕ = КЕ. Докажите, что четырёхугольник BKDM — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: \( ABCD \) — параллелограмм, \( M \) на \( AB \), \( K \) на \( CD \), \( E \) на \( BD \), \( ME = KE \).

Доказать: \( BKDM \) — параллелограмм.

1. Равенство отрезков \( ME \) и \( KE \):

По условию \( ME = KE \). Это означает, что точка \( E \) является серединой отрезка \( MK \).

2. Равенство отрезков \( BE \) и \( DE \):

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Диагональ \( BD \) пересекается с диагональю \( AC \) в точке \( E \) (по условию \( E \) лежит на \( BD \), а так как \( MK \) проходит через \( E \) и пересекает стороны \( AB \) и \( CD \), то \( E \) также является точкой пересечения диагоналей, если \( M \) и \( K \) симметричны относительно \( E \) и \( AB \parallel CD \)).

Следовательно, \( BE = DE \).

3. Сравнение треугольников \( BME \) и \( DKE \):

• \( BE = DE \) (доказано выше).
• \( ME = KE \) (по условию).
• \( \angle BEM = \angle DEK \) (вертикальные углы).

По двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), \( \triangle BME = \triangle DKE \).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны:

• \( BM = DK \)
• \( \angle MBE = \angle KDE \)

4. Анализ четырёхугольника \( BKDM \):

• \( AB — CD \) (противоположные стороны параллелограмма \( ABCD \) параллельны).
• \( BM \parallel DK \) (так как \( BM \) лежит на \( AB \) и \( DK \) лежит на \( CD \), а \( AB — CD \)).
• \( BM = DK \) (доказано выше).

Четырёхугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна и равна, является параллелограммом.

Следовательно, \( BKDM \) — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.