6. Пусть $a,b,c>0$. Известно, что каждый из двух трёхчленов $ax^2+bx+c$, $bx^2+cx+a$ имеет два различных действительных корня. Докажите, что трёхчлен $cx^2+ax+b$ не имеет действительных корней.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Пусть $a,b,c>0$. Известно, что каждый из двух трёхчленов $ax^2+bx+c$, $bx^2+cx+a$ имеет два различных действительных…$ Фото задания

6. Пусть $a,b,c>0$. Известно, что каждый из двух трёхчленов $ax^2+bx+c$, $bx^2+cx+a$ имеет два различных действительных корня. Докажите, что трёхчлен $cx^2+ax+b$ не имеет действительных корней.

Accepted Answer

Для квадратного трёхчлена два различных действительных корня существуют тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен.

Из условия для $ax^2+bx+c$: $b^2-4ac>0$. Значит, $b^2>4ac$.
Из условия для $bx^2+cx+a$: $c^2-4ab>0$. Значит, $c^2>4ab$.
Перемножим неравенства. Поскольку $a,b,c>0$, получаем $b^2c^2>16a^2bc$, откуда $bc>16a^2$.
По неравенству между средним арифметическим и геометрическим $a^2+b^2\geq 2ab$. Поэтому дискриминант третьего трёхчлена удовлетворяет неравенству $D=a^2-4bc\leq a^2-64a^2=-63a^2<0$.

Ответ: дискриминант $cx^2+ax+b$ отрицателен, поэтому действительных корней у него нет.