8. Четырнадцать команд сыграли турнир в один круг без ничьих. Докажите, что можно выбрать три команды так, чтобы каждая из остальных одиннадцати команд проиграла хотя бы одной из выбранных.

Представим турнир ориентированным графом: вершины — команды, а стрелка от одной команды к другой означает, что первая победила вторую.

1. Выберем команду \(A\), у которой максимальное число побед. Пусть она победила \(k\) команд.
2. Из этих \(k\) команд выберем команду \(B\), победившую наибольшее число команд среди выбранных \(k\). Пусть она победила \(m\) из них. Тогда среди этих команд есть \(k-m\) команд, победивших \(B\).
3. Из команд, победивших \(B\), выберем команду \(C\), победившую максимальное число остальных команд этой группы. Если в группе \(r=k-m\) команд, то \(C\) победила не менее \((r-1)/2\) команд группы.
4. Число команд, победивших хотя бы одну из \(A,B,C\), не меньше \(k+m+(r-1)/2\), поскольку группы победителей \(A\), победителей \(B\) среди победителей \(A\), и победителей \(C\) внутри оставшейся группы не пересекаются. Так как \(m+r=k\), это число не меньше \((3k-1)/2\).
5. Поскольку \(A\) имеет максимальное число побед, у неё не меньше половины побед среди 13 матчей: \(k\geq 7\). Поэтому \((3k-1)/2\geq 10\). Если \(k=7\), то в группе победителей \(A\) команда \(B\) имеет не менее 4 побед (иначе суммарное число побед в этой группе было бы меньше числа пар), так что число побеждённых хотя бы одной из трёх команд не меньше \(7+4+1=12\). Если \(kgeq 8\), оценка из предыдущего шага даёт не менее 12.

Следовательно, три выбранные команды побеждают в совокупности не менее 12 команд. Значит, как минимум 12 команд проиграли хотя бы одной из них, а потому условие задачи (для 11 команд) выполнено.

Ответ: такие три команды существуют.