7. В равностороннем треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, причём $AM+AN=AB$. Докажите, что угол между прямыми $CM$ и $BN$ равен $60^\circ$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. В равностороннем треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, причём…$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим сторону треугольника через $s$, а длины $AM$ и $AN$ через $x$ и $y$. Тогда $x+y=s$.

Выберем координаты: $A=(0,0)$, $B=(s,0)$, $C=(s/2,\sqrt{3}s/2)$. Тогда $M=(x,0)$, $N=(y/2,\sqrt{3}y/2)$.
Направляющий вектор прямой $CM$: $u=M-C=(x-s/2,-\sqrt{3}s/2)$. Направляющий вектор прямой $BN$: $v=N-B=(y/2-s,\sqrt{3}y/2)$.
Скалярное произведение равно $u\cdot v=(x-s/2)(y/2-s)-3sy/4$. Подставляя $y=s-x$ и раскрывая скобки, получаем $u\cdot v=-(x^2-xy+y^2)/2$.
Квадраты длин векторов: $|u|^2=x^2-sx+s^2$, $|v|^2=y^2-sy+s^2$. При $s=x+y$ обе величины равны $x^2-xy+y^2$. Следовательно, $u\cdot v=-|u||v|/2$, то есть косинус угла между выбранными направленными векторами равен $-1/2$.

Значит, угол между направлениями векторов равен $120^\circ$, а меньший угол между прямыми — дополнительный к нему: $180^\circ-120^\circ=60^\circ$.

Ответ: угол между прямыми $CM$ и $BN$ равен $60^\circ$.