6. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. На чертеже отмечено: AO = OC и ∠CBD = ∠BDA. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Из равенства накрест лежащих углов ∠CBD = ∠BDA следует, что BC ∥ AD.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Углы ∠BCO и ∠DAO равны как накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей AC. Углы ∠BOC и ∠DOA равны как вертикальные. Кроме того, AO = OC по отметкам на чертеже. Следовательно, треугольники BOC и DOA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Значит, BO = OD. По условию AO = OC, то есть диагонали AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, ABCD — параллелограмм.