6. Разложите на множители: а) 3x² + 2x + 1; б) 7x² + 4x − 1; в) 5x² + 2x − 1; г) 9x² − 8x + 3.

Используем дискриминант квадратного трёхчлена: если он отрицателен, разложение на линейные множители возможно только над комплексными числами.

а) D = 2² − 4 · 3 · 1 = −8. Корни: x = (−1 ± i√2) / 3. Поэтому 3x² + 2x + 1 = 3(x + (1 − i√2)/3)(x + (1 + i√2)/3). Над действительными числами не раскладывается.

б) D = 4² − 4 · 7 · (−1) = 44. Корни: x = (−2 ± √11) / 7. Поэтому 7x² + 4x − 1 = 7(x + (2 − √11)/7)(x + (2 + √11)/7).

в) D = 2² − 4 · 5 · (−1) = 24. Корни: x = (−1 ± √6) / 5. Поэтому 5x² + 2x − 1 = 5(x + (1 − √6)/5)(x + (1 + √6)/5).

г) D = (−8)² − 4 · 9 · 3 = −44. Корни: x = (4 ± i√11) / 9. Поэтому 9x² − 8x + 3 = 9(x − (4 + i√11)/9)(x − (4 − i√11)/9). Над действительными числами не раскладывается.