6. Решить логарифмическое неравенство:

Решение:

Данное неравенство: \( \log_{8}(x^2 - 4x + 3) < 1 \)

1. ОДЗ (Область допустимых значений): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
2. \( x^2 - 4x + 3 > 0 \)
3. Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = (-4)^2 - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4 \).
4. \( x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \)
5. \( x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)
6. Парабола \( y = x^2 - 4x + 3 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 4x + 3 > 0 \) при \( x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty) \).
7. Решим само неравенство:
8. \( \log_{8}(x^2 - 4x + 3) < 1 \)
9. Так как основание логарифма \( 8 > 1 \), то знаки неравенства сохраняются:
10. \( x^2 - 4x + 3 < 8^1 \)
11. \( x^2 - 4x + 3 < 8 \)
12. \( x^2 - 4x - 5 < 0 \)
13. Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 4x - 5 = 0 \): \( D = (-4)^2 - 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36 \).
14. \( x_3 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1 \)
15. \( x_4 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \)
16. Парабола \( y = x^2 - 4x - 5 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 4x - 5 < 0 \) при \( x \in (-1; 5) \).
17. Пересечём решения ОДЗ и неравенства:
18. \( x \in ( (-\infty; 1) \cup (3; \infty) ) \cap (-1; 5) \)
19. Это даёт \( x \in (-1; 1) \cup (3; 5) \).

Ответ: \( x \in (-1; 1) \cup (3; 5) \).