7. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение:

Дано тригонометрическое уравнение: \( 2\sin^2 x + 3\cos x = 0 \)

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).
2. Подставим в уравнение:
3. \( 2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0 \)
4. \( 2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0 \)
5. \( -2\cos^2 x + 3\cos x + 2 = 0 \)
6. Умножим на -1 для удобства:
7. \( 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0 \)
8. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Тогда \( -1 \le t \le 1 \).
9. Получим квадратное уравнение относительно \( t \):
10. \( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \)
11. Найдём дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 · 2 · (-2) = 9 + 16 = 25 \).
12. Найдём корни \( t \):
13. \( t_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 · 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
14. \( t_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 · 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)
15. Так как \( t = \cos x \) и \( -1 \le \cos x \le 1 \), то значение \( t_2 = 2 \) не подходит.
16. Остаётся \( \cos x = -\frac{1}{2} \).
17. Решения этого уравнения: \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( n, k \) — целые числа.
18. Можно объединить эти записи: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \), где \( m \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in ℤ \).