6. Решить уравнение: \( \log_2 (x^2 - 5x + 6) = -1 \)

Решение:

1. ОДЗ: \( x^2 - 5x + 6 > 0 \). Корни уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) находим по теореме Виета: \( x_1 = 2, x_2 = 3 \). Парабола \( y = x^2 - 5x + 6 \) направлена ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 5x + 6 > 0 \) при \( x < 2 \) или \( x > 3 \).
2. Приведём уравнение к виду \( x^2 - 5x + 6 = 2^{-1} \).
3. \( x^2 - 5x + 6 = \frac{1}{2} \).
4. Перенесём всё в одну сторону: \( x^2 - 5x + 6 - \frac{1}{2} = 0 \).
5. \( x^2 - 5x + \frac{11}{2} = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{11}{2} = 25 - 22 = 3 \).
7. \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{3}}{2} \).
8. Проверим, попадают ли корни в ОДЗ: \( \frac{5 + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{5 + 1.73}{2} = \frac{6.73}{2} \approx 3.365 \) (больше 3, подходит). \( \frac{5 - \sqrt{3}}{2} \approx \frac{5 - 1.73}{2} = \frac{3.27}{2} \approx 1.635 \) (меньше 2, подходит).

Ответ: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{3}}{2} \).