6. Решите неравенство: а) 5(a² - 1)-5a (a+2) > 3; б) 8x²-2x (4x + 1) ≤ x; в) \( \frac{2x}{3} - \frac{x-1}{6} + \frac{x+2}{2} \geq 0 \); г) \( \frac{x-3}{4} + \frac{x+1}{8} > 2 \).

Решение:

а) \( 5(a^2 - 1) - 5a(a+2) > 3 \)

1. Раскроем скобки: \( 5a^2 - 5 - (5a^2 + 10a) > 3 \)
2. Упростим выражение: \( 5a^2 - 5 - 5a^2 - 10a > 3 \)
3. Приведём подобные члены: \( -5 - 10a > 3 \)
4. Перенесём -5 в правую часть: \( -10a > 3 + 5 \)
5. \( -10a > 8 \)
6. Разделим обе части на -10 и сменим знак неравенства: \( a < \frac{8}{-10} \)
7. \( a < -0.8 \)

б) \( 8x^2 - 2x(4x + 1) \leq x \)

1. Раскроем скобки: \( 8x^2 - (8x^2 + 2x) \leq x \)
2. Упростим выражение: \( 8x^2 - 8x^2 - 2x \leq x \)
3. Приведём подобные члены: \( -2x \leq x \)
4. Перенесём \( x \) в левую часть: \( -2x - x \leq 0 \)
5. \( -3x \leq 0 \)
6. Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства: \( x \geq \frac{0}{-3} \)
7. \( x \geq 0 \)

в) \( \frac{2x}{3} - \frac{x-1}{6} + \frac{x+2}{2} \geq 0 \)

1. Приведём дроби к общему знаменателю 6: \( \frac{2x · 2}{6} - \frac{x-1}{6} + \frac{(x+2) · 3}{6} \geq 0 \)
2. \( \frac{4x - (x-1) + 3(x+2)}{6} \geq 0 \)
3. Раскроем скобки: \( \frac{4x - x + 1 + 3x + 6}{6} \geq 0 \)
4. Приведём подобные члены в числителе: \( \frac{6x + 7}{6} \geq 0 \)
5. Умножим обе части на 6: \( 6x + 7 \geq 0 \)
6. \( 6x \geq -7 \)
7. \( x \geq \frac{-7}{6} \)

г) \( \frac{x-3}{4} + \frac{x+1}{8} > 2 \)

1. Приведём дроби к общему знаменателю 8: \( \frac{(x-3) · 2}{8} + \frac{x+1}{8} > 2 \)
2. \( \frac{2(x-3) + x+1}{8} > 2 \)
3. Раскроем скобки: \( \frac{2x - 6 + x + 1}{8} > 2 \)
4. Приведём подобные члены в числителе: \( \frac{3x - 5}{8} > 2 \)
5. Умножим обе части на 8: \( 3x - 5 > 16 \)
6. \( 3x > 16 + 5 \)
7. \( 3x > 21 \)
8. \( x > \frac{21}{3} \)
9. \( x > 7 \)

Ответ: а) \( a < -0.8 \); б) \( x \geq 0 \); в) \( x \geq -\frac{7}{6} \); г) \( x > 7 \).